| Inhoudsbeschrijving | Laatste nieuws | Studiemateriaal | Tentamen | Collegeplanning |
Docent:
Tanja Lange
e-mail:tanja@hyperelliptic.org
Instructeur:
Ruud Pellikaan
Dit is the pagina voor het college 2WF50 - Algebra en Discrete Wiskunde. De oficiele pagina OWInfo.
Inhoudsbeschrijving
Monoiden en semigroepen, de classificatie van cyclische
monoiden. Productconstructies en deelstructuren. Groepen, de kleine
stelling van Fermat, de stelling van Lagrange over
ondergroepen. Ringen en lichamen, een uitgebreide kennismaking met
polynoomringen over een lichaam. Idealen en normale ondergroepen als
kernen van morfismen. De classificatie van eindige lichamen. Een meer
gedetailleerde studie van permutatie groepen, en automorfisme groepen
van combinatorische en meetkundige objecten.
Instructie: dinsdags 08:45 - 10:30, potentiaal 9.05
College: dinsdags 10:45 - 12:30, auditorium 13, en vrijdags 13:45 - 15:30, auditorium 10.
Op februari 25 instructie in MF 11 en 12.
Op maart 14 geen college ivm Open Dagen.
Op maart 25 geen instructie of college maar PRV62.
Op maart 28 college (blok 5&6) en instructie (blok 7&8, in Aud 14)
Op april 1 geen college of instructie, op april 4 wel college.
Algebra Interactive, Springer-verslag, Heidelberg 1999 (aanbevolen),
in engels. Dit boek is niet meer beschikbaar voor verkoop maar de
auteurs stellen een exemplaar voor download ter beschikking.
Meer informatie op het web
04 Feb 2014
Instructie:
Repetitie van rekenen modulo n, het
m-RSA-cryptosysteem, het Euclidische algoritme.
Public-key crypto
M-RSA
m-RSA is
"Kid-RSA" van Fellows en Koblitz gekraakt.
Attentie, did systeem is niet veilig.
College:
Monoiden en halfgroepen: definities, structuur,
n-tallige bewerkingen, halfgroepen, neutraal
element/eenheidselement.
Hier zijn de foto's van
het board.
07 Feb 2014
College:
Monoiden en halfgroepen: commutatieve bewerkingen,
deel-structuren (monoid, halfgroep), vermenigvuldigtafel, vrije
monoid over A, direct product van monoiden en halfgroepen, iedere
doorsnede van deelmonoiden/onderhalfgroepen is een monoid/halfgroep,
homomorphismen, isomorphismen, enkele voorbeelden.
Hier zijn de foto's van
het board.
11 Feb 2014
Instructie:
Exercises 6.7.3, 6.7.4, 6.7.5,6.7.7, 6.7.10 on pages 160, 161 of the
Algebra Interactive pdf file.
Huiswerk: Blad 1
College:
Cyclische monoiden, voortbrenger van een cyclische monoid,
<D>M: deelmonoid van M voortgebracht
door D, Ck,n, inverse, Euler φ function,
φ(m)=|(Z/m)*|.
Hier zijn de foto's van
het board.
14 Feb 2014
College:
inverse, inverse van a
is uniek, schrapwet: uit xy=xz volgt y=z voor
inv(x) in M; groepen, ondergroepen, direct product van groepen,
doorsnede van ondergroepen is een ondergroep, cyclische groepen,
voorbrenger, centrum Z(G), centralisator C(X,G), normalisator N(X,G),
voorbeelden.
Hier zijn de foto's van
het board.
18 Feb 2014
Instructie:
Exercises 6.7.11 (note, I used Cn,k instead of Ck,n;
6.7.13;
6.7.16 with r= the real numbers;
6.7.24;
6.7.25;
6.7.27 with R= the real numbers, GL(n,R) was denoted GLn(R) in
class and is the general linear group, i.e. the group of matrices with
nonzero determinant.
(pages 161 and 162 of the
Algebra Interactive pdf file).
Huiswerk: Blad 2
College:
Centrum Z(G), centralisator C(X,G),
normalisator N(X,G), beeld.
Voorbeelden:
21 Feb 2014
College:
Orde van een groep, orde van een element,
cyclische groepen,
voorbrenger, voorbeelden,
linkernevenklassen, stelling
van Lagrange.
Hier zijn de foto's van
het board.
25 Feb 2014
Exercises:
In MF 11+12, on http://www.sagemath.org. Install
sage or get an account before the exercise round; bring your
laptop.
Here is a quick reference
sheet for sage.
This is the list of
the commands I typed. Note that some of them will give errors, these
are deliberate to show that only x is a predefined variable and that
Zmod.order() is not defined (could be addition or multiplication).
Homework: Sheet 3.
Note, I updated part 3 to include another number.
Lecture:
Lagrange's Theorem, left cosets all have the same size, order of an
element divides the group oder, Fermat's little theorem, normal
subgroups, examples, kernel of a homomorphism is a normal subgroup.
Rings, examples such as Z, Z/nZ, polynomial rings R[x], unit group,
ring homomorphisms, properties of homomorphisms.
(Stelling van Lagrange, alle linkernevenklassen zijn even groot,
kleine stelling van Fermat/stelling van Euler, normaaldeler, kern is
een normaaldeler, voorbeelden. Ring, voorbeelden, Z, Z/nZ, R[x],
eenheidengroep, homomorphismen, eigenschappen.)
Hier zijn de foto's van
het board.
28 Feb 2014
Lecture:
Examples of rings and homomorphisms, R[x]/(x^2+1) is isomorphic to C,
ideals, kernel of a homomoprhism is an ideal, direct products, proof
of Chinese Remainder Theorem using direct products, CRT also works for
polynomials, polynomial rings R[x] over a ring R, (R×
S)×=R×× S×.
Here are the pictures
of the black board.
11 Mar 2014
Exercises:
Please prepare
6.7.31, 6.7.35,
7.8.1, 7.8.3, 7.8.4, 7.8.7, 7.8.8. You should use the exercise time
to ask questions about the parts that you find most complicated; no
need to go through these exercises in order.
Homework: Sheet 4 and read (and
understand) the proof that the quotient ring of a domain is a
field.
Lecture:
Intersection of subrings is a subring, <D>R,
R[x][y]=R[x,y],
zero divisors, domains,
zero divisors are not invertible, if R is a domain then so is R[x],
cancellation law holds in domains, fields,
finite domains are fields,
L(a), field of fractions.
Here are the pictures
of the black board.
18 Mar 2014
Exercises:
Please prepare
7.8.9, 7.8.11, 7.8.12, 7.8.13 (you can use the homework),
7.8.14, 7.8.15.
You should use the exercise time
to ask questions about the parts that you find most complicated; no
need to go through these exercises in order.
Homework: Sheet 5 and read (and
understand) the proofs of the last theorem and lemma covered in
class.
Lecture:
Prime field, characterisitic, K is L-vectorspace, finite fields have
order equal to a prime power, field with 4 elements, a(x) invertible
in K[x]/(f(x)) if gcd(a,f)=1, if f is irreducible this gives a field,
α is a root of f(x) is equivalent to (x-α) divides f(x),
homomorphisms and fixed points, Frobenius automorphism (mapping of
x to x^q or x^p) for finite field and properties.
Here are the pictures
of the black board.
18 Mar 2014
Lecture:
Algebraic integers; a algebraic over L; algebraic integers form a
field; ideals; (V)R, examples; Z is a principal ideal domain = every
ideal is principal, i.e. generated by a single element; equivalent
statements to I=R; I+J: prime ideals; maximal ideals; examples;
maximal ideals are prime ideals; over Z the converse almost holds,
only exception is (0)Z; residue classes; residue classes are
equivalence classes; R/I is a ring; first isomorphism theorem: φ
homomorphism from ring R to ring S, then R/ker(φ) is isomorphic to
Im(φ).
I left out that the intersection of ideals is an ideal, e.g. (2)Z,
(3)Z, (4)Z are ideals in Z. Let I be their intersection. An element in
I is divisible by 2, 3, and 4, so it is divisible by 12. In general,
for (v1)Z, (v2)Z, ... , (vn)Z the intersection is generated by
lcm(v1,v2,....vn).
Homework: Read and understand the proof of the first isomorphism
theorem.
Here are the pictures
of the black board.
25 Mar 2014
Exercises and lecture replaced by training
in information skills in MF 11+12.
Homework: Sheet 6
28 Mar 2014
Lecture given by Ruud Pellikaan:
Field has only trivial ideals;
repeatition of domain, field, prime field, prime ideal, and maximal ideal;
R/I is domain if I is a prime ideal;
R/I is field if I is a maximal ideal;
example: I=(X^2+1)R;
Finite fields:
repetition: characterisitic is prime, order is prime power;
for |L|=q have (x^q-x) is the product of (x-a), where a runs through all of L;
L* has q-1 elements; * notation is used for fields
to denote the multiplicative group;
construction of field with p^n elements using a monic, irreducible
polynomial of degree n over Z/p;
subfields of field with p^n elements are such that they have
p^m elements, for m a divisor of n;
the multiplicative group is cyclic (note that the reference
should go to 6.5.10 and that the statement needs to hold for every
divisor of the group order, not just the group order itself);
minimal polynomial of an algebraic element;
the minimal polynomial is unique and it is irreducible;
the minimal polynomial of a divides every polynomial f which has
f(a)=0.
Here are the pictures
of the black board.
Exercise (in Aud 14):
Please prepare:
7.8.19, 7.8.20, 7.8.21, 7.8.22, 7.8.23 (hint, use the norm),
7.8.24, 7.8.27 (what happens when you replace 3 by any prime? by any number?),
7.8.28, 7.8.30.
04 Apr 2014
Notations for finite field as Fq; Frobenius automorphism;
minimal polynomial of a has exactly all of a's conjugates as roots;
an irreducible polynomial over Fp of degree n
divides xpn-x; the latter equals the product of
all monic, irreducible polynomials of degree dividing n;
this gives a way to find irreducible polynomials;
examples, there are (p^2-p)/2 irreducible polynomials of degree 2 over
Fp; classification of finite fields.
Quick repetition of how to solve CRT.
Here are the pictures
of the black board.
Het tentamen voor 2WF50 is gepland voor woensdag 16-04-2014
09:00-12:00; sluitingsdatum is de 30-03-2014.
De herkansing is gepland voor woensdag 02-07-2014, 14:00-17:00;
sluitingsdatum is de 15-06-2014.
Tentamen van 2014: 2014-04-16.pdf.
Tentamen van 2011: 2011-11-10.pdf en
2012-01-27.pdf.
Tentamen van 2010: 2010-11-02-exam.pdf en 2011-01-21-exam.pdf.
Voor de laatste jaren was Andries Brouwer de docent voor Algebra 2. Hij was zo vriendschappelijk om me zijn oude examens te geven.